Оба варианта неудачны.
Если вторая часть бессоюзного предложения начинается словами так, это, только, такой, между частмяи предложения ставится тире: Персонал выдал каждому жилет с особым номером — это было необходимо, чтобы по возвращении проверили наличие всех пассажиров.
Правильно: в изучении, в покорении. Однако в поэтической речи возможна замена: в изученье, в покоренье. Так что ошибки нет. Отметим также, что правилами допускается и поэтический вариант в изученьи, в покореньи.
Существительные с неодносложной основой муж. и сред, рода на -ий и -ие в предл. п. и жен. рода на -ия в дат. и предл. п. ед. ч. имеют в безударном положении, в отступление от обще- го правила, окончание -и, а не -е, напр.: гений — о гении, натрий — о натрии, радий — о радии, Василий — о Василии, Юрий — о Юрии, отделение — в отделении, возвращение — по возвращении, содействие — при содействии; армия — к армии, об армии; линия — по линии, на линии; станция — к станции, на станции; Болгария — по Болгарии, в Болгарии; Мария — к Марии, о Марии. При наличии вариантов на -ие и -ье, -ия и -ья указанные падежные формы имеют разные окончания -и и -е: ср., напр., вариантные пары типа об умении — об уменье, в цветении — в цветенье, о многословии — о многословье, о Наталии — о Наталье, к Марии — к Марье.
Примечание. В художественной, особенно поэтической, речи допускается написание форм предл. п. существительных сред, рода на -ье (обычно при предлоге в) с окончанием -и, напр.: В молчаньи шел один ты с мыслию великой(П.); Подвиг есть и в сраженьи, / Подвиг есть и в борьбе. / Высший подвиг — в терпеньи, / В любви и мольбе (Хом.); И снег соперничал в усердьи/ С сумерничающею смертью (Б. Паст.); «В очарованьи» (название стихотворения И. Северянина); Птицы кричат в поднебесьи, / Сердце стучит в подреберьи (В. Долина). Под ударением окончание предл. п. -и отмечается только у одного слова на -ье: забытьё — в забытьи́.
Запятая не нужна. Обратите внимание: правильно – Нью-Йорк.
Да, предлог по употребляется с предложным падежом при указании действия, события, после которого что-либо совершается: по приезде друга, по возвращении из отпуска, по окончании спектакля.
В этом предложении слово наконец употреблено в значении ‘в результате’, ‘после всего’, поэтому вводным оно не является и запятыми не выделяется. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».
Верно: по Вашем возвращении.
Правильно: по возвращении (т. е. после).
В последние годы некоторыми словарями вариант носок тоже признается допустимым (раньше он строго запрещался).
Правильно: по моем возвращении (= после моего возвращения).
После прямой речи ставится тире, если прямая речь заканчивается многоточием: Отец Серафим меня напутствовал: «Съезди туда, съезди сюда…» – а по возвращении подробно расспросил обо всех местах, где мне удалось побывать.