Корректно: Московский регион.
Слово улица здесь лишнее. Правильно: Московский проспект.
Правильно: окончил Московский энергетический институт.
Да, верно, за исключением того, что название этого магазина принято заключать в кавычки.
Правильно: Кремлевская стена (в Москве). О стене в других городах: кремлевская стена.
Постановка тире уместна. Нет необходимости в сокращении "рег.".
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Правильно: Московский международный кинофестиваль.