Мужской род уместен в строгой деловой речи, где важно сообщить о должности безотносительно к полу (например, в приказе: назначить заведующим библиотекой Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи о женщине верно: заведующая библиотекой.
Корректно именно так: Библиотека Конгресса США.
Название серии пишется: "Библиотека всемирной литературы".
Верно со строчной: библиотека им. В. Г. Белинского.
Верно: библиотека — информационный интеллект-центр «Юность».
Верно: библиотека Российской академии наук (о неавтономном учреждении) и Библиотека Российской академии наук (об автономном учреждении).
Правильно так: библиотека пополнилась полутора сотнями изданий.
Запятая нужна: Библиотека, достойная округа.