Склонять нужно, если слова офлайн и онлайн употребляются как существительные: клиенты из офлайна.
Правильное написание: онлайн (онлайн-обучение, онлайн-голосование, онлайновый).
Слова с первой частью онлайн пишутся через дефис (см. словари): онлайн-школа.
Так и есть. Это существительное (работать в онлайне) и наречие (выполнять задания онлайн).
Слова онлайн и заявка не антонимичны (не обладают противоположным смыслом, как Вы об этом пишете). Как неизменяемое определение онлайн присоединяется дефисом к последующему существительному.
Слово онлайн уже зафиксировано нормативными словарями русского языка. Его можно писать кириллицей, кавычки не нужны.