Обратим внимание на то, что от слов домна 'шахтная печь' и домен 'землевладелие; идентификатор веб-сайта' образуются разные прилагательные: доменный (доменная печь, доменный газ, доменный чугун) и доменный (доменное имя, доменная зона).

Теперь об истории слов. Домна, согласно «Этимологическому словарю русского языка» Макса Фасмера, – от древнерусского глагола дъму 'дую'. В древнерусском языке в значении 'большая шахтная печь' использовалось слово домница. Домна отмечается в словарях с 1780 года.

Домен восходит к латинскому dominium 'владение', dominus 'господин, владыка'. Отсюда же – название игры домино и название плаща домино. П. Я. Черных пишет: название игры (оно пришло к нам из итальянского языка) связано с тем, что выигравший получал право называть себя господином, владыкой. Название плаща, который носили духовные лица, вероятно, мотивировано словом dominus 'владыка' (архиерейский титул) или словами молитвы benedicamus Domino (Восхвалим Господа...).

Слово домен было заимствовано в русский язык дважды. Впервые – из французского языка (domaine) со значением 'часть феодального владения, на котором феодал вел собственное хозяйство'; 'совокупность наследственных земельных владений короля' (в словарях русского языка это слово впервые в 1937 году, зафиксировано в «Словаре иностранных слов»). Вторичное заимствование – из английского языка: 'группа компьютеров, имеющая общий сегмент в интернет-адресе, а также общее имя' (одна из первых фиксаций – в «Новом словаре иностранных слов» Е. Н. Захаренко, Л. Н. Комаровой, И. В. Нечаевой, 2003).

А вот женское имя Домна связано с латинским dominus 'господин', а не с печью для выплавки чугуна.