Представляется, что здесь уместны кавычки: страны «оси» (раз города не указываются, роль конкретизатора возьмут на себя кавычки, они помогут обратить внимание читателя на это слово, подскажут читателю, что здесь имеется в виду какая-то особая «ось»).

Предпочтительно: страны оси Берлин – Рим.

Выбор варианта зависит от того, победила Германия или проиграла. Если проиграла, то верно: победа над Германией. Если победила, то верно: победа Германии.

Грамматически такая форма возможна, но на практике она используется крайне редко, в основном в книжной речи.

Обычно употребляется: со всех уголков страны.

Сочетание страны мира корректно, никакой избыточности в нем нет. Ср.: страны Европы, страны Азии, страны Ближнего Востока...

Оба варианта неверны.

Корректно: в период руководства Обамы страной.